代数和数论是数学中最古老的两个基本分支，即使在今天它们仍然是数学的核心。代数包括对代数方程、解集结构、排列组合和变换结构的研究。如果结构的定义规则是可交换的，那么该主题称为交换代数。
代数几何研究一个或多个未知数的多项式方程的解集，这项研究得到了对抽象结构的研究的帮助。密集数方程的解集也在代数几何中自然出现。
数论主要研究整数，尤其是数论，一个或多个未知数的多项式方程组的整数会有理解，是数论的一部分，被称为算数几何。在算术几何中某些称为模型式的密集数也非常自然的出现，并在解决深不可测的谜团中发挥着重要作用。诸如基本群之类的代数结构及其作为一组变换的表示构成了研究有趣的几何对象和形状的对称性的重要工具。
现代的研究课题如加密数学和纠错码理论产生了代数和数论在现实生活中常用的重要应用。计算机、手机、dvd、互联网上的安全通信都大量使用了代数和数论。代数和数论的魅力在这里找到了用武之地。